A todos nos ha sucedido eso de llegar a la parada del autobús, o el metro, y ver que según el póster informativo el tiempo medio de paso es de x minutos y pararnos a pensar: «estupendo, de promedio sólo tendré que esperar x/2 minutos para que pase el siguiente». Y luego acaba llegando a los X minutos, más o menos*. Es un efecto conocido como la paradoja del autobús.

Este desafío a nuestra intuición se debe a que tendemos a creer que el tiempo del intervalo regular en el que pasan los autobuses se convertirá en un tiempo de espera que será la mitad, porque puede que lleguemos un poco más tarde o un poco antes, de modo que es como si estuviéramos «a mitad de la espera» (de promedio). Pues no.

Qué mejor forma de entenderlo que con algo práctico. En Pythonic Perambulations dedicaron algo de tiempo a crear un simulador de frecuencia de paso de autobuses «lanzándolos» a intervalos aleatorios (según la distribución de Poisson, que es lo apropiado aquí) de modo que el tiempo promedio se conservara. ¿Qué es lo que sucedía?

La cuestión tiene varias lecturas matemáticas –están todas en el larguísimo artículo original– pero viene a decir que:

• Si los autobuses pasaran a intervalos regulares y precisos entonces el tiempo de espera sería efectivamente x/2, como dicta la intuición.
• En cambio si los autobuses pasan a intervalos aleatorios, aunque tengan el tiempo promedio de paso marcado en el panel, entonces «no tendrían memoria» y el tiempo de espera promedio pasaría a ser x en cualquier momento en el que lleguemos a la parada.
• En el mundo real, sucede algo curioso: las líneas de autobuses y las salidas y pasos están ligeramente programados, de modo que tienen a comportarse más como x/2 que como x. Así que es razonable pensar que si marca 10 minutos (por decir algo) el tiempo promedio de espera estará entre 7 y 9 minutos, más o menos*, más cerca de los 10 que de los 5.

Todo esto me recordó a la no menos curiosa y compleja cuestión de si es mejor esperar al autobús o echar a andar, donde las matemáticas respondían con un rotundo: esperar. Otra cuestión autobusera que también tenía su intríngulis.

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* A ver, que puede que llegue un poco o antes o un poco después; esto es de promedio porque al ser una cuestión de probabilidad y estadística, como decían en la película, «…no es una ciencia exacta».

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Foto (CC) Vidar Nordli-Mathisen @ Unsplash.

El arquetipo del azar suele representarse con el lanzamiento de una moneda al aire. Es indiferente si cae sobre la palma de la mano, el suelo, si es un euro, una vieja peseta o un dracma: todos son sistemas físicos y –en teoría– conociendo las posiciones, velocidades y factores que influyen en su trayectoria podríamos predecir su comportamiento y si saldrá cara o cruz.

Con el lanzamiento de monedas cuántico de AE Studio la cosa cambia.

La web es una sencilla explicación en forma de artículo interactivo de cómo se realiza uno de estos lanzamientos al azar, con resultados del 50/50% utilizando la tecnología de computación cuántica de IBM (la llamada IBM Quantum Plaform), a la que se puede acceder para ciertos desarrollos experimentales (no necesitas tener chatarra cuántica en el sótano a -272,9°C, en otras palabras).

El diagrama muestra qubits (bits cuánticos), que en el MundoReal™ son qubits transmones, en los que se provoca el colapso de su superposición cuántica al medirlos, «aprovechando entonces la aleatoriedad inherente al propio universo.» Si lo piensas esto es algo «más profundo de lo que parece», aunque técnicamente hay que aceptar que sólo existe un universo (con permiso de la interpretación de los muchos mundos de Everett y las propuestas de David Deutsch.)

Los estados básicos de los qubits, representados en el diagrama por |0> y |1> pasan por una H, una puerta lógica de Hadamard que crea el estado de superposición –matemáticamente– al 50%, que es lo que finalmente se mide para saber si ha salido cara o cruz. Naturalmente todo esto lleva mucha matemática complicada: matrices, números complejos y otras, por no hablar del entendimiento de las bases de la mecánica cuántica, siempre fascinante.

Este pequeño experimento o ejercicio creado por AE Studio no es perfecto porque las máquinas de IBM tienen cierto retardo y los qubits pueden estar cacheados o ser «hackeables», pero –efectos indeseados e interceptaciones aparte– ese sería el concepto. Que básicamente busca divulgar más que servir como una herramienta real, aunque puedes tirarte el pisto la próxima vez que tengas que jugarte algo al azar a cara o cruz y usar el QuantumConFlip.com en vez del vil metal.

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En este episodio de uno de nuestros canales favoritos, Numberphile, entrevistan al no menos admirado Marcus du Satoy acerca de las estratégicas matemáticas del Risk, uno de los arquetípicos juegos de mesa de la categoría de estrategia. TL;DR: ataca a muerte.

Es interesante que James Grime, el entrevistador, no haya jugando nunca al Risk, siendo cuarentón. Recuerdo las tardes y tardes de entretenimiento descubriendo cosas curiosas como dónde estaba Kamchatka y cómo calcular probabilidades con los dados para afinar los ataques, aparte de alguna que otra mítica remontada.

En cualquier caso al principio del vídeo se hace un breve resumen de en qué consiste el Risk y cómo lo importante para ver los países y continentes más apreciados es el esquema topológico del mapa. No se habla de su importancia cultural –las referencias son muchísimas– pero, bueno, es un vídeo de mates.

Uno de los detalles en los que más inciden es que en el Risk suelen usarse dos estrategias: están los que juegan a defender y los que juegan a atacar. En las tiradas de hasta tres dados en los que gana el que obtiene resultados mayores que la otra persona, comparando dado por dado y ordenándolos. Por eso durante mucho tiempo se creía que «jugar a defender» era una estrategia superior, porque el empate entre dados beneficia a quien defiende.

Du Satoy explica por qué esto no es así, dado que en esa comparación influye la ordenación de los valores resultantes. Es un problema clásico de combinatoria y probabilidad, que convierte el juego en una preciosidad matemática de topología, con cadenas de Markov y probabilidad básica. La mejore estrategia es atacar todo lo que se pueda.

Investigando sobre esto encontré un viejísimo y probablemente desactualizado FAQ sobre el Risk, donde se habla de las reglas, probabilidades, esperanza matemática y algunos trucos para principiantes (atacar con grupos grandes, empezar por el hemisferio Sur, intentar conseguir Australia –aunque paga poco en cada ronda– y no obcecarse en las misiones. Sobre esto también hay algunas variantes estándar y no tan estándar («reglas de la casa» e inventos de la gente) con nombres tan atractivos como Risk Nuclear Táctico, Risk Marciano o Risk de la Tierras Múltiples. Para investigar si te interesa este tipo de juegos.

Una frase que se oye a menudo es esa de «¡Es imposible lograrlo! ¡Hay una posibilidad entre un millón!»* pero todos sabemos que pocos sucesos tienen exactamente esa probabilidad.

Para hacernos una idea de cuán lejos están algunas cuestiones está ese 1 entre 1.000.000, o 0,000001 o 0,0001% de la realidad, la página En What really has a 1 in a million chance? del profesor David Aldous da algunos ejemplos:

Situaciones del tipo «una entre un millón»

• Lanzar 20 monedas y que salgan todas cara.
• Que haya un terremoto importante en la Falla Hayward (cerca de San Francisco) en los próximos 50 minutos.
• Que uno de los próximos 24 bebés que nazcan en Estados Unidos acabe siendo presidente del país.
• Morir de accidente de esquí o snowboard durante una visita de 1 día a una estación de esquí.
• Morir en un accidente de coche durante un viaje de unos 400 km en California.

Situaciones que no son del tipo «una entre un millón»

• Morir al saltar en paracaídas. Es mayor: 1 entre 100.000.
• Que te parta un rayo. Es menor: 1 entre 4 millones.
• Que te toque la lotería primitiva. Es mucho menor (suele ser 1 entre 14 millones o menos).

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* No es lo mismo «una posibilidad entre un millón» y «una probabilidad entre un millón»; la segunda forma de decirlo a mi me parece incorrecta.