Una forma de intentar generar números primos es la siguiente: multiplicar la secuencia de números primos conocidos (2, 3, 5, 7…) y al resultado añadirle 1. El número resultante no podrá dividir de forma exacta a ninguno de los números utilizados, porque el resto de la división siempre será uno. Por ejemplo
2×3 + 1 = 7
siendo 7 un número primo. O bien,
2×3×5×7 + 1 = 211
donde 211 también resulta ser un número primo.
Pero esta técnica no siempre funciona. Por ejemplo:
2×3×5×7×11×13 + 1 = 30031
Resulta que 30.031 también es 59×509, por tanto no es primo.
El matemático griego Euclides fue quien ideó esta técnica, llegando a la conclusión de que si bien la idea no servía como una forma de generar números primos, tenía otra propiedad: o bien el número resultante era primo, o bien estaba compuesto por la multiplicación de otros números primos mayores que los de la lista original. Repitiendo la idea con los números primos resultantes se podría ir subiendo y subiendo en los números naturales, y siempre aparecerían primos mayores que los de la lista original.
Una bella demostración de que existen infinitos números primos, aunque no se conozca una fórmula que los genere.
Este ejemplo está mencionado en Music of the Primes, el entretenido libro sobre la hipótesis de Riemann y los números primos de Marcus du Sautoy.
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