El profesor Scott Aaronson lleva años trabajando en el apasionante y abstracto tema de la complejidad computacional y preparó un trabajo titulado Why Philosophers Should Care About Computational Complexity acerca de las implicaciones filosóficas que el asunto supone. Además de eso dio esta charla en el campus de la Universidad de Texas, en Austin, donde de forma más cercana y amigable se pueden descubrir todos estos temas relacionados con la computación:

• La diferencia entre «conocer» la existencia de un número y poder calcularlo, utilizando números primos como ejemplo. No es lo mismo tener su representación concreta o un algoritmo eficiente para hallarlo que no poder tenerlo.
• Funciones extremas y no computables. Algunas como la función del castor afanoso (busy beaver) o la función de Ackermann muestran estructuras tan enormes que superan la capacidad de toda la computación. Esto está relacionado con los trabajos de Turning y Gödel.
• Interacción, entrelazamiento y verificación cuántica. Cuestiones complejas cuando hay dos observadores entrelazados: los protocolos de demostración y verificación para varios observadores y partículas cuánticas superan las barreras clásicas de verificación de la computación.
• IA y aprendizaje profundo. De predecir a razonar: los LLM transforman la estadística en algo ingenioso, normalmente lenguaje natural. Al mismo tiempo, arrojan luz sobre cómo sufren de «alucinaciones», y prometen la mejora recursiva de sus propias capacidades.

Entre otros datos curiosos deja caer que el mayor primo conocido* es el 2^82.589.933−1, que el castor afanoso (5) = 47.768.870, con el (6) siendo como mínimo 10↑↑15 (esto es, una torre de potencias de altura 15 como cota inferior) y que la densidad de almacenamiento máxima del Universo es de unos 10⁶⁹ bits por metro cuadrado de superficie, que está relacionada con la entropía del principio holográfico.

No espero que la computación se llegue a ejecutar en operaciones al ritmo del tiempo de Planck, ni que resuelva el problema de la parada, ni que demuestre que P=NP en tiempo polinómico. Saber de esas limitaciones aporta poco consuelo. Esto es porque, como en el chiste de los exploradores huyendo del oso, «no hace falta superar al oso, tan solo al compañero de huida». Del mismo modo, la IA no necesita vencer los límites fundamentales de la física para cambiar el mundo; basta con que nos supere a nosotros.»

– Scott Aaronson

Cada una de estas cuestiones, desde los límites del conocimiento de los números primos hasta la encrucijada de la conciencia artificial, es todo un terreno explorado someramente. La esperanza radica en la capacidad colectiva de hacernos preguntas ingeniosas, diseñar herramientas innovadoras y a veces de colaborar entre diversas disciplinas.

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* Aunque yo tengo el dato del 2^136.279.841-1, no sé dónde está el error (?)

Relacionado:

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Las curvas elípticas, que aparecen por todas partes en matemáticas y también en criptografía, suelen verse como objetos abstractos imposibles de visualizar. En Elliptic.Curves.art Hajouji y Trettel plantean mostrarlas tal como son, usando una mezcla de geometría, álgebra y la fibración de Hopf, una herramienta matemática que permite proyectar estas curvas complejas (literalmente) en forma de toroides tridimensionales.

Con esta representación de las curvas como cocientes del plano complejo se pueden crear imágenes que conservan su estructura y simetrías, revelando su belleza oculta más allá de las ecuaciones. Es como un museo virtual de curvas imposibles.

El proyecto también explora curvas elípticas sobre campos finitos y reales, identificando sus simetrías internas. A pesar de los distintos contextos algebraicos, todas comparten una esencia geométrica que puede representarse visualmente. El resultado es una galería de «donuts matemáticos» únicos, con formas, colores y texturas tan variados como las redes que los generan.

Siguiendo enlaces wikipédicos me encontré con estas listas de problemas no resueltos en la física y de problemas no resueltos en las matemáticas, que sirven para saber un poco en qué estado de conocimiento estamos a la par que como reto. Por si hay alguien osado y atrevido como para enfrentarse con ellos.

En física la cosa va desde la Teoría del Todo que abarca muchos campos –además de ser un libro de Hawking, y posterior película bastante decente– a explicar la gravedad cuántica,qué son la materia oscura y la energía oscura y confirmar algunas ideas como las paradojas de la información de los agujeros negros, la «censura cósmica», el principio holográfico. También hay algunos problemas de física cuántica, cosmología e incluso relatividad general, incluyendo el Principio Cosmológico, la masa de los neutrinos o a qué se deben los ciclos solares.

En matemáticas hay grandes clásicos como la cuestión P = NP y un enorme número de conjeturas, desde la conjetura de Goldbach («Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos») a la hipótesis de Riemann o la conjetura de Collatz, también fácil de enunciar y entender pero dificilísima de confirmar.

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Imagen: GPT-4o

Hace tiempo publicaron Qué tienen que ver las matemáticas con los siete puentes de Königsberg, acerca de la ciudad que fue la inspiración para un famoso problema matemático-topológico y que se sigue estudiando hoy en día por su importancia y sencillez.

Como es sabido, los habitantes de la ciudad, situada en lo que hoy es Kaliningrado, el enclave ruso entre Polonia y Lituania, se hacían esta pregunta:

¿Se puede atravesar con una ruta continua todos los puentes de modo que se recorran todas las zonas de la ciudad por tierra pero no se cruce cada puente más que una sola vez?

Leonhard Euler demostró que no era posible en 1736, dando lugar a lo que se llamó teoría de grafos. La explicación es sencilla: si se convierte el mapa en un grafo (nodos = zonas de la ciudad; aristas = puentes) es fácil ver que al llegar a cada nodo habría que volver a salir, de modo que dependiendo de si el número de aristas es par o impar (denominados «grados») se podría ir a otro lugar… o allí terminará el camino.

En el grafo de Königsberg todos los nodos son de grado impar, así que el recorrido es imposible. Hoy en día se aplica esta misma idea muchas veces en informática, telecomunicaciones, logística, economía, etc.

Esta página es interesante no tanto por la explicación, que hemos leído mil veces, como porque contiene ilustraciones antiguas y fotos más recientes de la ciudad que inspiró el nacimiento de la topología.

(Vía EduCreate, donde también hay una larga explicación del problema.)

Relacionado:

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