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Un número cualquiera es divisible por 11 si al sumar sus dígitos en orden alternativo ambos resultados son iguales o si su diferencia es múltiplo de 11.
Por ejemplo 31636 → 3+6+6 = 15; 1+3 = 4; 15-4 = 11, por tanto es divisible por 11.
Hay muchas más pruebas que se pueden realizar mentalmente explicadas en Divisibility tests and Liljevalch's theorem. La prueba de divisibilidad más complicada para llevar a cabo sin lápiz ni papel parece ser la del 7; en el artículo se sugiere incluso una forma de comprobar la divisibilidad por 23 más o menos fácilmente.
Mi favorita sigue siendo la prueba de divisibilidad del 37, tan «mágica» que entra casi en la categoría de superpoder.
En la Wikipedia se explican todas las pruebas de divisibilidad hasta el 20 y luego diversas prueba peculiares que existen entre 21 y 999, a cual más curiosa. La más hostil por inexistente y porque no parece que pueda obtenerse gracias a conocer las pruebas de números anteriores parece ser la del 53, que es primo, y luego la del 57.
Pero, por ejemplo, se puede saber si un número es divisible por 79 multiplicando el último dígito por 8 y sumándolo al resto (de forma reiterada si hace falta). Si el resultado es 79, es divisible.
Por ejemplo 11455 → 1145 + 5×8 = 1185 → 118 + 5×8 = 158 → 15 + 8 ×8 = 79, por tanto es divisible por 79.
