A los matemáticos y los físicos les encanta ponerle nombres raros y sugerentes a ciertos conceptos. Así, por ejemplo, los números perfectos son los números enteros positivos que son iguales a la suma de todos sus divisores excepto el mismo número. El vídeo de esta semana de Veritasium –que ya más que un vídeo de YouTube parece una superproducción, por la cantidad de gente involucrada– trata de esto y de otros problemas relacionados con los números perfectos.
Dos ejemplos de números perfectos serían el 6, porque 6 = 1+2+3 o el 28 = 1+2+4+7+14. Los números perfectos son escasos y se conocen desde la antiguedad (al menos desde el año 500 antes de nuestra era). Euclides hacia el 300 ya estaba buscando algunas respuestas a diversas preguntas que no tenían respuesta obvia.
Las más relevantes son cinco cuestiones, que ya planteó Nicómaco de Gerasa hacia el año 100 a. C.: ¿hay una infinidad de números perfectos? ¿produce el algoritmo de Euclides todos los números perfectos? [la fórmula (2n–1 × (2n – 1) siempre que 2n – 1 es primo, como demostró Euler]. ¿Hay algún patrón en su número de dígitos, o en si todos acaban en 6 y en 8? y, la más curiosa: ¿hay algún número perfecto impar?
El interés tiene que ver con que aunque todas las conjeturas que se planteaban son casi intuitivamente correctas (o sí, o no, como poco o poco se iría demostrando) pero no son una demostración. Y eso que podría ser tan «fácil» como encontrar un contraejemplo (por ejemplo, un gran número par que sea perfecto). En cambio demostrar que ese número no existe es mucho más complicado.
Por el camino aparecen naturalmente todos los grandes matemáticos: Euler, Descartes, Gauss, Mersenne… También se habla sobre números primos y proyectos como el GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) que está relacionado porque los números perfectos parecen derivar todos ellos de primos de esta forma. Pero son tareas computacionalmente complicadas y lo único que se puede hacer es repartirlas en red entre voluntarios.
De todo el asunto la pregunta más sencilla y fascinante es tal vez la más complicada de responder: ¿existen los números perfectos impares? De momento no se conoce ninguno, y eso que los matemáticos han comprobado hasta 102200, que es una barbaridad, pero bueno… ¡A seguir buscando!
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