He aquí un estupendo vídeo de James Grime en Numberphile que explica de forma bastante sencilla el Teorema de los números primos, que es una de las cuestiones más básicas e importantes relacionadas con estos curiosos números.
Los primeros minutos están dedicados a explicar cuestiones poco técnicas –incluso qué significan algunos de los símbolos de las fórmulas– y luego ya entra en materia. Puede resultar bastante interesante para clarificar algunos conceptos y apreciarlos en un formato sencillo y con ejemplos fáciles de entender.
El teorema de los números primos está relacionado con la distribución de los números primos entre los números naturales y por tanto con la proporción entre unos y otros. Desde hace siglos se sabe que la fórmula π(x) = x/log(x) da un valor aproximado.
Debido a las características de la función log(x), resulta que ese valor crece y crece pero nunca llega a ser infinito. Por ejemplo para mil millones (1.000.000.000) el logaritmo de x en base e resulta ser 20,7; algo menos de 21. Según el teorema ese valor divide al total de números, por tanto equivale a la proporción entre números compuestos y números primos.
En la práctica eso significa que hacia el número 1.000.000.000 habrá de promedio unos 21 números de distancia entre un primo y el siguiente –aunque no sepamos exactamente cuáles son ni dónde están a menos que los revisemos todos. Esto viene a significar que aproximadamente el 4 o 5% de los números menores que 1.000.000.000 serán primos y el resto compuestos.
Es interesante además que estos valores sean válidos como promedios teniendo en cuenta todos los números naturales hasta el que se calcula. Recordemos los famosos primos gemelos que aparecen por todos lados y cuya distancia es 2. O, al revés: aunque la distancia promedio entre primos hasta 1.000.000.000 es 21 resulta que a partir del número 31398 y hasta el 31468 hay 71 números compuestos en perfecta sucesión. Otra de esas rarezas mágicas de los números primos; quizá por eso resultan tan curiosos y apasionantes.
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