Por @Alvy

Mapa antiguo de la ciudad de Königsberg, con vistas aéreas que muestran sus edificios, calles y el río que la rodea. Dos figuras humanas, un hombre y una mujer, están de pie en el primer plano, mientras que barcos navegan por el agua en la parte inferior. La imagen incluye inscripciones en alemán y una leyenda en un marco

Hace tiempo publicaron Qué tienen que ver las matemáticas con los siete puentes de Königsberg, acerca de la ciudad que fue la inspiración para un famoso problema matemático-topológico y que se sigue estudiando hoy en día por su importancia y sencillez.

Como es sabido, los habitantes de la ciudad, situada en lo que hoy es Kaliningrado, el enclave ruso entre Polonia y Lituania, se hacían esta pregunta:

¿Se puede atravesar con una ruta continua todos los puentes de modo que se recorran todas las zonas de la ciudad por tierra pero no se cruce cada puente más que una sola vez?

Leonhard Euler demostró que no era posible en 1736, dando lugar a lo que se llamó teoría de grafos. La explicación es sencilla: si se convierte el mapa en un grafo (nodos = zonas de la ciudad; aristas = puentes) es fácil ver que al llegar a cada nodo habría que volver a salir, de modo que dependiendo de si el número de aristas es par o impar (denominados «grados») se podría ir a otro lugar… o allí terminará el camino.

Diagrama que ilustra la evolución de un mapa antiguo de Königsberg con un río, seguido por una representación de un entorno natural con ríos entrelazados, y finaliza con un gráfico que muestra un modelo de red con nodos y conexiones, destacando la relación entre estos elementos

En el grafo de Königsberg todos los nodos son de grado impar, así que el recorrido es imposible. Hoy en día se aplica esta misma idea muchas veces en informática, telecomunicaciones, logística, economía, etc.

Esta página es interesante no tanto por la explicación, que hemos leído mil veces, como porque contiene ilustraciones antiguas y fotos más recientes de la ciudad que inspiró el nacimiento de la topología.

(Vía EduCreate, donde también hay una larga explicación del problema.)

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Por @Alvy

Gridbach: Un proyecto para comprobar de forma distribuida la famosa conjetura de Goldbach

Gridbach [también en inglés además del japonés] es un curioso proyecto matemático en torno a la conjetura de Goldbach. Es muy del estilo de Folding@Home, Seti@Home (en hibernación) o ChessBrain (que no ha avanzado en dos décadas), en el sentido de que se utilizan los ordenadores de voluntarios de todo el mundo para realizar los cálculos de forma distribuida. De momento ya ha batido algún récord.

La famosa Conjetura de Goldbach es muy sencilla de entender, simple y a la vez maléfica, y viene a decir que

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Goldbach enunció esta conjetura en 1742 y todavía nadie ha podido demostrar que sea matemáticamente cierta, ni por supuesto se ha hallado un número para el que no sea válida. Como no hay una demostración directa se podría pensar en un contraejemplo, pero la dificultad parece estribar en que hay demasiadas formas de combinar los números primos: a medida que se va subiendo en la lista –y se ha comprobado hasta 4 trillones– siempre aparece un ejemplo válido. Por esta razón se sigue considerando uno de los más bellos problemas de las matemáticas.

Gridbach es obra de Hiroaki Jay Nakata, y como sistema distribuido ya ha verificado hasta ha verificado la conjetura hasta 4×1018 + 1013 (4.000.010.000.000.000.000), superando en 10 billones el anterior récord de 2013. Y subiendo.

Gridbach está programado en WASM (WebAssembly) y ejecuta los cálculos directamente en el navegador del PC o del móvil; no hay que instalar ningún software. Al arrancar pide automáticamente un bloque de números a comprobar y se pone con ello. Cuando verifica todas las soluciones lo comunica, pidiendo un nuevo bloque; si quedaran huecos porque alguno se quede a medias alguien lo revisará y recalculará, y así sucesivamente.

El proyecto es completamente transparente y de código abierto, con todos los algoritmos de cálculo optimizados disponibles en GitHub. Cualquiera puede revisarlo, mejorarlo y contribuir. Todo un ejemplo de cómo la tecnología actual permite a cualquier persona contribuir a descubrimientos científicos desde su propia casa.

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Por @Alvy

Una calculadora… aproximadamente

Filip Hracek creó allá por 2020 esta Unsure Calculator, algo que podríamos traducir como una «calculadora insegura» o «calculadora de aproximaciones». Es como una calculadora normal en todos los aspectos pero tiene un operador especial: ~ (virgulilla o tilde, en inglés), que sirve para introducir un rango de números aproximados, por ejemplo «entre 1,10 y 1,30» (1.10~1.30). El resultado se expresa como un histograma, percentiles y demás, que dejan ver cuál puede ser el grado de probabilidad de que el resultado sea correcto.

Lo divertido es que sirve para calcular cualquier fórmula aunque no estés muy seguro de los valores de algunas variables. En el ejemplo, imagina que vendes un producto por 200 y que el precio final puede que varíe entre 1,10 y 1,30. El resultado será un valor entre 220 y 260, con un máximo en 240 (que es el percentil 50% en este caso).

La calculadora maneja los operadores básicos + - * y /, pero también tiene ^ (potencia), sqrt() (raíz cuadrada) o sin() cos() tan() para trigonometría.

El código fuente está en Github: Unsure Calculator por si alguien quiere entender cómo está construida o mejorarla, aunque el proyecto parece que está parado hace años.

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Por @Alvy

Una forma bonita de visualizar 1.000.000 de números en 70.000 dimensiones en 2D

En ¿Cómo se ven los números Johnhw ha creado una curiosa visualización del primer millón de números enteros. Tiene un curioso aspecto medio de fondo cósmico medio de ADN visto al microscopio.

Para crear la imagen primero generó la factorización del primer millón de enteros y luego los conectó entre ellos, usando unos 70.000 vectores en total. Luego aplicó un algoritmo llamado UMAP para reducir las dimensiones de la matriz y poder hacer un gráfico.

También hay un vídeo, aunque muy corto y que no aporta mucho más que la imagen. Son más interesantes el visor 3D e incluso el visor 2D. Si te intriga la cosa, también hay una opción con la tecla T para ver a qué número corresponde cada píxel. Así que puedes entretenerte en buscar tu favorito.

También está disponible el código fuente (Github: UMAP sparse), con el que siempre se puede aprender algo.

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